Прежде всего, это называется именно согласием на выезд, а не доверенностью или заявлением (и для этого выбирается соответствующий бланк). А теперь нюансы решения вопроса, когда у ребенка остался только 1 родитель морально, хоть и оба живы физически.

Сразу в законы. Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 28.07.2012 ) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию":
- статья 20: "Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить". Обратите внимание, здесь согласие нужно только в случае отсутствия сопровождающих. А второй родитель - и сопровождающий, и родитель одновременно;
- статья 21: "В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке". Эти две статьи в совокупности показывают, что один из родителей делает с ребенком что хочет, пока не начнет вякать второй;
- официальный ответ пограничной службы России подтверждает закон 114-ФЗ (вопросы "Какой порядок выезда из Российской Федерации несовершеннолетних граждан Российской Федерации" и "Требуется ли нотариально оформленное согласие на выезд из Российской Федерации от второго родителя, если ребенок выезжает совместно с одним из родителей":

Далее есть таких хитрюшки: называются нотариусы. И об этих хитрюшках пишут много щекотливых ситуаций: "Нотариус хотела сделать на каждую страну отдельно (по 1000 рублей), а когда я сказала, что по закону можно сделать на много стран (просто перечислить), она сразу сказала "конечно-конечно"". Нотариусам невыгодно делать согласия на длительный срок. Поэтому если будет отказано, скажем, в оформлении согласия на 3 года - нужно требовать четкую аргументацию. Большинство из хитрюшек просто не находят ответа и говорят, что "страхуются".

Теперь о сроках согласия, если все-таки есть желание ее сделать. Срок зависит от той страны, в которую едешь. На Украину согласие можно сделать до совершеннолетия ребенка. Но опять проблема с этими хитрюшками, сговорились прям. В другие страны можно сделать на 3 года, а не на один, как "принято". Нужно учесть, что сроки на согласие законодательно не определены именно в России, а в стране прибывания могут быть четко прописаны. Шенген строже в таких вопросах, поэтому помимо полного списка стран, в которые ребенка хочется возить, нужно указать и четкие даты посещения ребенком этих стран.